一次函数

2010-12-04 20:17:50   6680

函数的基本概念:在一个变化过程中,有两个变量xy,并且对于x每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说yx的函数,也可以说x是自变量,y是因变量。表示为ykxbk≠0kb均为常数),当b0时称yx的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx

变量:变化的量(可取不同值)

  常量:不变的量(固定不变)

  自变量kX的一次函数y有如下关系:

  y=kx+b k为任意不为零常数,b为任意常数)

  当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时,就不是一次函数。

  x为自变量,y为因变量k为常量,yx的一次函数。

  特别的,当b=0时,yx正比例函数。即:y=kx k为常量,但K≠0)正比例函数图像经过原点。

定义域:自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合。函数性质

  1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

  即:y=kx+bk≠0) k不等于0,且kb为常数)

  2.x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0b)

  3.k为一次函数y=kx+b斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象x轴正方向夹角,Θ≠90°)

  形、取、象、交、减。

  4.b=0( y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。

  5.在两个一次函数表达式中

  当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合

  当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行

  当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交

  当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0b

图像性质

  1.作法与图形:通过如下3个步骤

  (1)列表

  (2)描点;[一般取两个点,根据两点确定一条直线的道理]

  (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b00b

  2.性质:(1)在一次函数上的任意一点Pxy),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0b),与x轴总是交于(-b/k0正比例函数的图像都是过原点。

  3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

  4kb与函数图像所在象限

  y=kx时(即b等于0yx成正比例)

  当k0时,直线必通过第一、三象限,yx的增大而增大;

  当k0时,直线必通过第二、四象限,yx的增大而减小。

  y=kx+b时:

  当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

  当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

  当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

  当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

  当b0时,直线必通过第一、二象限;

  当b0时,直线必通过第三、四象限。

  特别地,当b=0时,直线通过原点O00)表示的是正比例函数的图像。

  这时,当k0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。当k0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。

  4、特殊位置关系

  当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

  当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1

解析式类型

  一般式 ax+by+c=0

  斜截式 y=kx+b (k为直线斜率,b为直线纵截距;其中正比例函数b=0

  点斜式 y-y1=k(x-x1)

  (k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)

  两点式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

  (已知直线上(x1,y1)与(x2,y2)两点)

  截距式 x/a + y/b=1

  (ab分别为直线在xy轴上的截距

解析式表达局限性

  所需条件较多(3个点,因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组)

  不能表达没有斜率的直线(即垂直于x轴的直线;注意没有斜率的直线平行于y表述不准,因为x=0y轴重合)

  参数较多,计算过于烦琐;

  不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

倾斜角的概念

  x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α,则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0, π)

与二元一次方程的关系

1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数

  y=-a/bx+c/d的图象相同.

  (2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数

  y=-a1/b1x+c1/d1y=-a2/b2x+c2/d2的图象的交点.

  方法小结:

  把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图象的交点,即可知方程组的解.

一、区别和联系

  区别:二元一次方程有两个未知数,而一次函数只是说未知数的次数为一次,并未限定几个变量,因此二元一次方程只是一次函数中的一种。

  联系:(1)在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点,这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y5有无数组解,像x=1y=3x=2y=1以这些解为坐标的点(1,3)(2,1都在一次函数y=-2x+5的图象上. 2)在一次函数图象上任取一点,它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(-33),则x=-3y=3一定是二元一次方程x+y2的一组解.

  所以,以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

  在同一平面直角坐标系中,两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来,以二元一次方程组的解为坐标的点,一定是相应的两个一次函数的图象的交点。

三、方程组无解时相应函数图象的关系

  当二元一次方程组无解时,相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点,即两个一次函数图象平行。反过来,当两个一次函数图象平行时,相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=53x-y=-1无解,则一次函数y3x5y3x+1的图象平行,反之也成立。

四、用作图的方法解二元一次方程组

  用作图的方法解二元一次方程组,一般有下列几个步骤:(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式;(2)在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象;(3)找出图象的交点坐标,即得二元一次方程组的解。

五、用二元一次方程组确定本函数解析式

  在实际应用中,常常利用待定系数法构造二元一次方程组,从而确定一次函数的解析式。

  例:某航空公司规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量xkg)的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李,买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李,买了100元行李票。那么,乘客最多可免费携带多少千克的行李?

解答:依题意,可设一次函数的解析式为ykx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b100=40k+b。解得k=5b=-100,即一次函数的解析式是y5x100。当x20时,y0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。

常用公式

1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

  2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

  3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

  4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

  5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式

  两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 y1=y2 k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 (x0,y0)即为 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 交点坐标

  6.求任意2点所连线段的中点坐标:[x1+x2/2,(y1+y2/2]

  7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(X-x1/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0,则分子为0)

  x y

  + +(正,正)在第一象限

  - + (负,正)在第二象限

  - - (负,负)在第三象限

  + - (正,负)在第四象限

  8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2,那么k1=k2b1≠b2

  9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1

  10.

  y=kx-n+b就是向右平移n个单位

  y=kx+n+b就是向左平移n个单位

一次函数的平移

口诀:右减左加(对于y=kx+b来说,只改变b

y=kx+b+n就是向上平移n个单位

  y=kx+b-n就是向下平移n个单位

  口诀:上加下减(对于y=kx+b来说,只改变b)相关应用

生活中的应用

  1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt

  2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量Sg=S-ft

  3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+bk为任意正数)

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